在这里，我们将看到在给出三个顶点的坐标时如何找到三角形的区域。
让我们考虑下面给出的三角形。
在上述三角形中，A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）和C（x 3 ， y 3 ）是顶点。
为了找到三角形ABC的面积，现在我们按顺序（逆时针方向）取三角形ABC的顶点 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）和C（x 3 ， y 3 ） ），然后按列将其写入，如下所示。
黑色箭头所示的对角乘积 x 1 y 2 ，x 2 y 3 和x 3 y 1 a s。
还要添加对角乘积x 2 y 1，x 3 y 2 和 x 1 y 3 ，如虚线箭头所示。
现在，从前一个乘积中减去后一个乘积即可得出三角形ABC的面积。
因此，三角形ABC的面积为
三点共线的条件
如果平面中的三个或更多点位于同一条直线上，则称它们什线的。
换句话说，三个点 A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）和C（x 3 ， y 3 ） 什线的，如果这些点中的任何一个位于连接其他两个点的直线上点。
假设三个点 A（x 1 ，y 1），B（x2，y2）和C（x3， y3） 共线，则它们不能形成三角形。因此，三角形ABC的面积等于零。
那是，
1/ 2⋅ {（x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 ）-（x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3）} = 0
要么
（x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3
可以证明相反的说法也是正确的。
因此，当且仅当点A，B和C共线时，三角形ABC的面积为零。
练习问题
问题1：
找到顶点为（1、2），（-3、4）和（-5，-6）的三角形的面积
解决方案：
如下图所示绘制给定点，并按顺序排列（逆时针）
令顶点为A（1、2），B（-3、4）和C（-5，-6）
然后，我们有
（x 1 ，y 1）=（1，2）
（x 2，y 2）=（-3，4）
（x 3，y 3）=（-5，-6）
三角形ABC的面积为
= 1/2⋅{（x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1）-（x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3）}
=（ 1/2）⋅{[[（1）（ 4）+（-3）（-6）+（-5）2]-[（-3）2 +（-5）4 + 1（-6） ]}
=（ 1/2）⋅{[[4 + 18-10]-[-6-20 -6]}
=（ 1/2）×{[12 ] - [-32] }
=（ 1/2）x {12 + 32 }
=（ 1/2）x { 44 }
= 22平方单位。
因此，三角形ABC的面积为22平方单位。
问题2：
如果三角形ABC的面积为68平方单位，并且顶点依次为A（6，7），B（-4，1）和C（a，-9），则找到“ a”的值。
解决方案：
让
（x 1 ，y 1 ）=（6，7）
（x 2，y 2）=（-4，1）
（x 3 ，y 3 ）=（a，-9）
给定：三角形ABC的面积为68平方单位。
然后，
1/2⋅{（x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1）-（x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3）} = 68
每边乘以2
{（x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1）-（x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3）} = 136
{[6 + 36 + 7a]-[-28 + a-54]} = 136
[42 + 7a]-[a-82] = 136
42 + 7a -a +82 = 136
6a + 124 = 136
6a = 12
a = 2
问题3：
使用三角形面积的概念，证明点A（5，-2），B（4，-1）和C（1，2）什线的。
解决方案：
让
（x 1，y 1）=（5，-2）
（x 2，y 2）=（4，-1）
（x 3，y 3）=（1，2）
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = 5（-1）+ 4（2）+ 1（-2）
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = -5 + 8 -2
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = 1 -----（1）
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = 4（-2）+ 1（-1）+ 5（2）
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = -8 -1 + 10
x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 = 1 -----（2）
从（1）和（2），我们得到
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3
因此，三个点A，B和C什线的。
问题4：
如果P（x，y）是连接点（a，0）和（0，b）的线段上的任意点，则证明x / a + y / b = 1，其中a ≠b。
解决方案：
显然，点（x，y）， （a，0）和（0，b）什线的。
然后，
三角形的面积= 0
因为三角形的面积为零，所以
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 -----（1）
这里，
（x 1，y 1）=（x，y）
（x 2，y 2）=（a，0）
（x 3 ，y 3 ）=（0，b）
（1） - - - - > X ⋅ 0 +一 ⋅ B + 0 ⋅ ý =α ⋅ ý + 0 ⋅ 0 + X ⋅ b
0 + ab + 0 = ay + 0 + xb
ab = ay + xb
将每一边除以ab。
1 = y / b + x / a
要么
x / a + y / b = 1
问题5：
如果点（k，-1），（2，1）和（4，5）共线，则找到“ k”的值。
解决方案：
因为给定的点什线的，
三角形面积= 0
然后，我们有
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 = x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 1 y 3 -----（1）
这里，
（x 1，y 1）=（k，-1）
（x 2，y 2）=（2，1）
（x 3 ，y 3 ）=（4，5）
（1）-----> k（1）+ 2（5）+ 4（-1）= 2（-1）+ 4（1）+ k（5）
k + 10-4 = -2 + 4 + 5k
k + 6 = 2 + 5k
4 = 4k
1 = k
更新:20210423 104206